线性代数示例

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 1

求行列式。

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解题步骤 1.1

选择包含最多 $0$ 元素的行或列。如果没有 $0$ 元素，选择任何一行或一列。将第 $2$ 列中的每个元素乘以其代数余子式，然后相加。

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解题步骤 1.1.1

考虑相应的符号表。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 1.1.2

代数余子式是指在索引与符号图上的 $-$ 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。

解题步骤 1.1.3

$a_{12}$ 的子式是已删除了行 $1$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 1.1.4

将元素 $a_{12}$ 乘以其代数余子式。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 1.1.5

$a_{22}$ 的子式是已删除了行 $2$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 1.1.6

将元素 $a_{22}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

解题步骤 1.1.7

$a_{32}$ 的子式是已删除了行 $3$ 和列 $2$ 的行列式。

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.1.8

将元素 $a_{32}$ 乘以其代数余子式。

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.1.9

最后把这些项加起来。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.2

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

解题步骤 1.3

将 $0$ 乘以 $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ 。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

解题步骤 1.4

计算 $| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ 。

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解题步骤 1.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

解题步骤 1.4.2

化简行列式。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

解题步骤 1.4.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

解题步骤 1.5

化简行列式。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 0 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2 + 0$

解题步骤 1.5.3

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 2

由于行列式非零，所以逆存在。

解题步骤 3

设置一个 $3 \times 6$ 矩阵，其中左半部分是原始矩阵，右半部分是其单位矩阵。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.1

交换 $R_{2}$ 和 $R_{1}$ ，以在 $1, 1$ 中放入一个非零项。

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{6}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{6}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $- 1$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

解题步骤 4.5

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $3$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $3$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 4.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

解题步骤 4.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

解题步骤 5

行简化阶梯形的右半部分是逆。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

线性代数 示例

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